Con dos tiradas suele bastar

¿Quieres que nos juguemos el café? Mira, vamos a lanzar un dado por turnos e ir sumando los resultados que vayamos obteniendo. Gana el primero que con su tirada pase del número de caras del dado. Llevo mis dados de Magic en el bolsillo,  vamos a usar el de 20 para añadir un poco de emoción, así que ganará el primero que llegue a 20. ¿Vale? Empiezas tú. Tiras, sacas un 7, no llegas a 20. Tiro yo, saco un 6: 7+6=13, no llego a 20, tira. Sacas un 12: 13+12=25, ganas. ¡Mier…,!  ¡Uy, perdón, eso sí que no me lo esperaba! ¿Al mejor de tres?

(2 horas antes)

Estaba leyendo la autobiografía matemática de John Allen Paulos  y en un momento dado cita un artículo suyo en ABCnews  con apariciones estelares (la primera, literalmente) del número e. Una de ellas es, traduzco (y abrevio):

John Allen Paulos

Escoger números al azar también puede dar lugar a e. Elige un número entero aleatorio entre 1 y 1000. (Digamos que escoges 381.) Elige otro número aleatorio (digamos 191) y súmalo al primero (en este caso, da 572). Continua eligiendo números aleatorios entre 1 y 1000 y sumándolos a la suma de los números aleatorios escogidos previamente. Detente sólo cuando la suma supere los 1000. (Si el tercer número fuera 613, por ejemplo, la suma pasaría de 1000 después de tres selecciones.)

¿Cuántos números aleatorios, en promedio, necesitarás elegir? En otras palabras, si un grupo grande de personas repite este procedimiento, generar números entre 1 y 1000 y sumarlos hasta que la suma pase de 1000 y registrar el número de selecciones que han necesitado para llegar superar el 1000, el número promedio de dichas selecciones sería –lo has adivinado– muy próximo a e.

 

Pues sí, en la página del Wolfram Mathworld sobre la distribución de sumas de copias de una variable uniforme en [0,1] encontraréis la demostración de que si vais tomando números al azar entre 0 y 1 con distribución uniforme y sumándolos, la probabilidad de que la primera elección en la que la suma sea \geq 1 sea la n-ésima es 1/(n(n-2)!) y de que, entonces, la esperanza de esta distribución de probabilidades, es decir, el número promedio de números que tendremos que tomar para superar el 1, es e. Multiplicando por 1000, y quitando partes decimales, obtenéis la aproximación citada por Paulos.

Naturalmente, aunque lanzar un dado de N caras sea escoger un número entero al azar (y equiprobablemente) entre 1 y N, si N es pequeño entonces los decimales que se borran juegan un papel importante. Por ejemplo, con un dado de 6 caras, el número medio de lanzamientos necesarios para sumar 6 o més es un poco más de 2.16, y con un dado de 20 caras para superar el 20 necesitamos en promedio un poco más de 2.52. Con el dado de 100 caras que todos los matemáticos tenemos en casa rondamos el 2.68.

Pero hay otro dato que me interesa en el juego de tirar el dado y sumar hasta superar el umbral: si jugamos con un dado de N caras, más de la mitad de las veces llegaremos a N en la segunda tirada, independientemente de N. Esta probabilidad es muy sencilla de calcular: para pasar de N en la segunda tirada pero no en la primera, tenemos que sacar un k entre 1 y N-1 en la primera tirada y luego en la segunda cualquiera de los k+1 valores que hacen que la suma supere N (por ejemplo, si con un dado de 20 caras en la primera tirada saco un 5, para llegar a 20 en la segunda necesito algo entre 15 y 20). Por tanto, de las N^2 posibles tiradas dobles, en \sum\limits_{k=1}^{N-1} (k+1)=(N+2)(N-1)/2 pasaremos de N sin que en la primera tirada lleguemos a N, y este número es mayor que  N^2/2 si N\geq 3. En concreto, la probabilidad de superar N en dos tiradas de un dado de N caras es de aproximadamente 0.56 si N=4 o N=6; 0.53 si N=12; y 0.52 si N=20.

Así que en el jueguecito del principio, si dejamos empezar al otro, lo más probable es que ganemos en la segunda jugada, independientemente del dado. Y si no, siempre nos queda la cuarta, la sexta…

-Hola, Cesc, te veo muy concentrado

-¡Hola! Sí, estaba haciendo unos cálculos. Oye,  ¿quieres que nos juguemos el café? Mira, vamos a lanzar un dado por turnos…

Esta entrada participa en la Edición 8.5 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Raíz de 2.

 

Advertisements