Un problema de Marius Coman sobre raíces digitales de primos

Estaba yo pensando (es decir, buscando inspiración en Google) sobre un taller para estudiantes en que pudieran olerse conjeturas sobre números primos a partir de primos pequeños, pudieran contrastarlas con el fichero de los primeros 50 millones de primos que me generé el otro día y que ya he usado en este blog, y luego ya veríamos las que no pudieran refutar si se sabe que son verdaderas o no y cómo se podrían demostrar, cuando caí en el fascinante (por decir algo) “Two hundred and thirteen conjectures on primes” de Marius Coman (se puede descargar de aquí).

La pinta que tiene ese texto es que más o menos hace lo que quiero que hagan los niños: busca regularidades en los primeros primos, las comprueba hasta algún valor  y conjetura las que no puede refutar de esta manera. Me ha llamado la atención un problema que plantea en la página 28 sobre raíces digitales (ya sabéis, restos módulo 9) de números primos:

Hay algún otro primo p diferente de 23 con la propiedad de que, para cada una de las seis posibles raíces digitales 1,2,4,5,7,8, haya la misma cantidad de primos impares menores que p con esa raíz digital?

Está claro que un número primo no puede tener raíz digital 6 o 9 (porque entonces sería divisible por 3) y que el único primo de raíz digital 3 es el mismo 3, por lo que la podemos excluir. Entonces, los primos impares menores que 23 (y diferentes de 3) son 5, 7, 11, 13, 17, 19, de raíces digitales 5, 7, 2, 4, 8 y 1 respectivamente: una de cada. La pregunta de Coman es si vuelve a haber empate en algún otro punto de la infinita secuencia de primos.

Según el teorema de los números primos para progresiones aritméticas (podéis encontrar una demostración corta, aunque algo tramposa porque la parte difícil no la demuestra, aquí), cuando n\to \infty, las fracciones de primos menores que n con raíz digital 1,2,4,5,7 o 8 tienden a ser la misma, 1/6. En mis 50 millones de primos esto se puede detectar: si eliminamos el 2 y el 3, las frecuencias de las raíces digitales del resto de los otros 49999998 primos son

\begin{array}{l|cccccc} \mbox{R. D.} &  1  & 2  & 4  & 5  & 7 &  8  \cr \hline  \mbox{Frec.} & 8333074 & 8333893 & 8333197  & 8333574 & 8332716 & 8333544 \end{array}

La diferencia entre la frecuencia mayor y la menor en esta tabla es de 1177, que sobre unos 50\cdot 10^6 primos es una miseria.

Bueno, pues nada, que he comprobado la conjetura de Coman sobre los 49999998 primeros primos impares diferentes de 3. Y sabéis qué? Que no falla: no hay ningún empate de las seis frecuencias relativas salvo para el 23. Curioso, verdad?

(Se acerca el , así que mejor dejo algo para entonces. Continuará…)