Los números Le Monde-959 (por llamarlos de alguna manera)

Va, algo de precalentamiento: ¿qué números son iguales a la suma de las potencias n-ésimas (n\geq 2) de sus dos divisores más pequeños (incluyendo 1 como divisor)? Pensadlo un rato. Ah, ¿que estáis aquí para leer, no para pensar? Vaaaaale, veamos. Si N es impar, sus dos divisores menores serán 1 y un primo impar p, pero entonces N (impar) no puede ser igual a 1+p^n (par); y si N es par, sus dos divisores menores serán 1 y 2, pero entonces N (par) no puede ser igual a 1+2^n (impar).

Hechos los estiramientos, vamos al grano. En su blog, Xian (alias de Christian Robert, pero le seguiremos llamando Xian, si es lo que quiere) de vez en cuando resuelve “por fuerza bruta” problemas propuestos en Le Monde; con “por fuerza bruta” quiero decir usando un programa de R. Son unas entradas muy interesantes, porque siempre aprendo una función o un truco nuevos. En la entrada del pasado miércoles 20 de abril, Xian atacaba el problema 959, del fin de semana pasado:

Encuentra un natural A que sea igual a la suma de los cuadrados de sus cuatro divisores más pequeños (incluyendo el 1), y un natural B que sea igual a la suma de los cubos de sus cuatro divisores más pequeños. ¿Hay enteros con esta propiedad para exponentes más grandes?

Con lo que nos gusta poner nombres a los objetos, a un número con esta propiedad para un exponente n lo voy a llamar un número Le Monde-959-n. Por ejemplo, Xian encuentra un número Le Monde-959-2 (es decir, un número que es suma de los cuadrados de sus cuatro primeros divisores): 130. En efecto: 130=2\times 5\times 13 y 130=1+2^2+5^2+10^2. También encuentra un número Le Monde-959-5 (que es suma de las potencias quintas de sus cuatro primeros divisores): 17864 (podéis comprobarlo, pero en un rato lo volveremos a encontrar). Y en la solución que publicó ayer Le Monde (y que acaba de añadir Xian a su entrada)  Le Monde afirma que no hay ningún número Le Monde-959-3, y dan un número Le Monde-959-4, 1419874, y otro número Le Monde-959-5, 1015690. Como el programa de Xian es solo una prueba de concepto, solo busca hasta 10^6, por lo que no encuentra el primero. Por lo que refiere al segundo… no es suma de las potencias quintas de sus cuatro primeros divisores: 1015690=2\times 5\times 13^2\times 601 \neq 1+2^5+5^5+10^5.

Naturalmente, uno se puede preguntar si hay más números con esta propiedad. La base de la cacería será la siguiente. Si N fuera un número Le Monde-959-n impar, sus cuatro primeros divisores serían impares y por lo tanto la suma de sus potencias sería par, por lo que no podría ser igual a N. Así pues, todo número Le Monde-959-es par y sus dos primeros divisores serán 1 y 2. Ahora bien, como 1+2^n es impar, para que la suma de las potencias de los cuatro divisores más pequeños sea par, el tercer y el cuarto han de ser de paridades diferentes. La conclusión es que los números Le Monde-959-solo pueden tener una de las dor formas posibles, para algún primo impar p:

A_{n,p}=1+2^n+4^n+p^n o B_{n,p}=1+2^n+p^n+(2p)^n=(1+2^n)(1+p^n)

Esto nos permite buscarlos. Por ejemplo, para n=2, ha de pasar:

  • Si es del tipo A_{n,p}, p ha de dividir a 1+2^2+4^2=21, por lo que p=3 o p=7, y 4 ha de dividir a 1+p^n, que no pasa para ninguno de los dos.
  • Si es del tipo B_{n,p}, p ha de dividir a 1+2^2=5, es decir, p=5 y obtenemos el 130.

Así pues, el único número Le Monde-959-2 es 130. Bien. En general, no hay soluciones del tipo A_{n,p} con n par, porque en este caso 4 nunca divide a 1+2^n+4^n+p^n.

Qué pasa con n=3? Repetimos razonamiento:

  • Si es del tipo A_{n,p}, p ha de dividir a 1+2^3+4^3=73, por lo que p=73, pero entonces 1+2^3+4^3+73^3=389090 no es es divisible por 4
  • Si es del tipo B_{n,p},  p ha de dividir a 1+2^3=9, es decir, p=3, pero entonces 1+2^3+3^3+6^3=252 es divisible por 4, por lo que 6 no es uno de sus cuatro divisores más pequeños.

Así pues, no hay números Le Monde-959-3. Seguimos coincidiendo.

Otro más, y luego ya os dejo con resultados generales. ¿n=4? Ya sabemos que no hay soluciones de la forma A_{n,p}. En una solución del tipo B_{n,p}, p ha de dividir a 1+2^4=17, es decir, p=17, y resulta que 1+2^4+17^4+34^4=1419874=2\times 17\times 41761, por lo que 1419874 es el único número Le Monde-959-4.

Y en general? Vale, os dejo como ejercicio sencillo los tres resultados siguientes:

  1. Si n=4m+2, entonces los números B_{n,5}=1+2^n+5^n+10^n son siempre Le Monde-959-n. Cuando m=0, B_{2,5}=130, cuando m=1, B_{6,5}=1015690 = 2\times 5\times 13^2\times 601. La demostración general (que 3, 4 y 7 no dividen a B_{n,5} y 5 sí) es sencilla.
  2. Si n=4m con m impar (es decir, n=8k+4), entonces los números  B_{n,17}=1+2^n+17^n+34^n son siempre Le Monde-959-n. Cuando m=1, B_{4,17}=1419874, dado por Le Monde; cuando m=3, B_{12,17}=2387003305930334914 = 2\times 17\times 73\times 241\times 1321\times 41761\times 72337 . De nuevo, la demostración general (que 3, 4, 5, 7, 11,  13, 19, 23, 29, 31 no dividen a B_{n,17} y 17 sí) es sencilla, pero algo larga a mano.
  3. Si n es impar pero no múltiplo de 3, entonces A_{n,7}=1+2^n+4^n+7^n son siempre Le Monde-959-n.  Cuando n=5, A_{5,7}=17864, el que encontró Xian; cuando n=7, B_{7,7}=840056 = 2^3\times 7^2\times 2143. La demostración general (que 3 y 5 no dividen a A_{n,7} y 4 y 7 sí) también es sencilla y esta vez corta.

Qué pasa con los otros exponentes? Ya hemos visto que no hay números Le Monde-959-3, y un argumento similar muestra que tampoco hay números Le Monde-959-9. No he sabido demostrar que, en general, no hay números Le Monde-959-con n múltiplo impar de 3, pero tiene toda la pinta (va, conjetura).

¿Y los números Le Monde-959-con n múltiplo de 8? Para n=8 no existe ninguno: 1+2^8=257 es primo y B_{8,257} no funciona; para n=16 sí que existe uno: B_{16,65537}, que no copio aquí porque es un monstruo; para n=24 no existe ninguno; para n=32, existe uno: B_{32,641}; para n=40 no existe ninguno; para n=48, existe uno: B_{32,257}. La pauta es clara, pero tampoco lo he sabido demostrar.

En general, podríamos preguntar

¿Para qué números naturales k\geq 3 y n\geq 4 existen números naturales N que son iguales a la suma de las potencias n-ésimas de sus primeros k divisores?

Para k=3 es fácil (para n par, nunca; para n impar, 1^n+2^n+3^n siempre; ejercicio). El resto, lo dejo para algún fan del Problema de Waring.

Vaya, se me ha terminado la entrada y no hay ninguna imagen. Va, unos gatitos para alegraros el dia

kittens

Y, siempre con el tiempo justo, esta entrada participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es pimedios.

 

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