El 26 y los capicúas

Qué mejor día para quitar las telarañas a este blog que el 26 de febrero, 262, capicúa.
Aunque en realidad yo quería hablar de otro 26-2 capicúa, el 26^2=676. Resulta que el 26 es el menor número natural no capicúa que elevado al cuadrado da capicúa. El siguiente ya es el 264, que elevado al cuadrado da 69696.

Los números capicúas son muy populares en matemática recreativa, y recientemente se ha demostrado que también son relevantes en aritmética. Justo este pasado mes de agosto, William Banks, de la Univ. de Missouri, demostró que todo número natural es igual a la suma de números capicúas. Me podríais decir: bah, el 1 es capicúa y todo número es suma de unos, mira tú. No es esto. Bueno, sí, tendríais razón, pero Banks demostró algo más concreto: que, por grande que sea el número natural que nos den, siempre podemos encontrar una familia de, como máximo, 49 números capicúas cuya suma sea el número dado.

Hay muchas preguntas sobre potencias capicúas para las que los matemáticos desconocemos la respuesta. Por ejemplo, cuántos números no capicúas hay cuyo cuadrado sea capicúa? Hay infinitos? No se sabe. El más grande que se conoce tiene 28 dígitos, y su cuadrado, 55, y fue descubierto en 2008 por Feng Yuan, un informático aficionado a este tipo de cuestiones del estado de Washington, pero no sabemos si hay otros más adelante.

En cambio, es fácil producir tantos números capicúas con cuadrado capicúa como queráis: por ejemplo, tomad cualquier número formado por un 1, seguido de una secuencia de ceros y acabado con otro 1: 11, 101, 1001, 10001 etc. El cuadrado de un número de estos se obtiene siempre concatenando dos copias del número y cambiando el 11 que aparece en medio por un 2; es un buen ejercicio demostrarlo. Y en particular, como vemos, este cuadrado es capicúa.

Hay otras preguntas sobre números capicúas que permanecen abiertas. Por ejemplo, sólo se conoce un número no capicúa que elevado al cubo dé capicúa, el 2201; no se sabe si hay más. No se conoce ningún número no capicúa que elevado a la cuarta potencia dé capicúa, y no se sabe si existen. Y, para rematarlo, no se conoce ningún número diferente de 1, capicúa o no, tanto da, ninguno, que elevado a 5 o más dé capicúa. Antes de que os pongáis con la calculadora a buscar, tengo que avisaros de que ya se han comprobado todos los números de hasta 14 cifras y todas las potencias hasta 10. Será el tipo de problemas para los que decía Erdös que la matemática actual aún no está preparada?

Esta entrada participa en la Edición 7.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

Añadido en prensa: Al poco de publicar la entrada me entero por Gaussianos de que  Javier Cilleruelo, de la Universidad Autónoma de Madrid, ha reducido la cota de Banks de 49 a 3: todo número natural es suma de como máximo 3 capicúas.

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Números en el fulcro

Una de las últimas incorporaciones a las familias distinguidas de números son los números balanceados (balancing numbers [1]). Se trata de aquellos números naturales tales que la suma de todos los números naturales a su izquierda es igual a la suma de algunos números inmediatamente a su derecha.

bal

Formalmente, n\in \mathbb{N} es balanceado cuando existe algún

r\geq 1 tal que 1+2+\cdots+(n-1)=(n+1)+(n+2)+\cdots +(n+r)

De esta igualdad se deduce que

\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}=\frac{r(2n+r+1)}{2}\Longrightarrow \frac{n^2}{2}=\frac{n+2rn+r(r+1)}{2}

y finalmente

\displaystyle{}n^2=\frac{n^2+n+2rn+r(r+1)}{2}=\frac{(n+r)(n+r+1)}{2}

Por lo tanto, y éste es su interés primario, un número n es balanceado cuando es la raíz cuadrada exacta de un número triangular.

Pero a parte de esto, los números balanceados tienen algunas propiedades muy elegantes y relativamente fáciles de demostrar, que los convierten en buenos candidatos para ser protagonistas de problemas sobre combinatoria o inducción.

Por ejemplo, es fácil demostrar  [1] que si denotamos por B_n el n-ésimo número balanceado (siendo los dos primeros B_1=6 y B_2=35, aunque la recurrencia también funciona si aceptamos el 1 como balanceado, y partimos de B_0=1) entonces la sucesión (B_n)_n satisface la ecuación en diferencias

B_{n+2}=6B_{n+1}-B_{n}

de donde se obtiene que

\displaystyle{}B_{n}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\left((3+2\sqrt{2})^n-(3-2\sqrt{2})^n\right)

Otras propiedades que se pueden demostrar con facilidad y que son bonitas de proponer como problemas [1,2]:

  • B_{2n}=B_n^2-B_{n-1}^2
  • Si m>n, (B_m+B_n)(B_m-B_n)=B_{m+n}\cdot B_{m-n}
  • B_{\mathrm{mcd}(n,m)}=\mathrm{mcd}(B_n,B_m)

Ah, y antes de que os animéis con un “¿Y si…?”. Ya se han propuesto todo tipo de generalizaciones de los números balanceados, involucrando potencias, progresiones aritméticas, progresiones geométricas,… Buscad en el Google Académico y veréis si vuestra idea ya la ha explotado/publicado alguien.

Esta entrada participa en la edición 5.1, Rey Pastor, del Carnaval de Matemáticas, alojada en el blog Tito Eliatron Dixit.

Referencias

  1. A. Behera, G. K. Panda, “On the square roots of triangular numbers.” The Fibonacci Quarterly 37 (1999), 98-105
  2. G. K. Panda, “Some fascinating properties of balancing numbers”. Fibonacci Numbers and their Applications 10 (2006), edición electrónica