Números en el fulcro

Una de las últimas incorporaciones a las familias distinguidas de números son los números balanceados (balancing numbers [1]). Se trata de aquellos números naturales tales que la suma de todos los números naturales a su izquierda es igual a la suma de algunos números inmediatamente a su derecha.

bal

Formalmente, n\in \mathbb{N} es balanceado cuando existe algún

r\geq 1 tal que 1+2+\cdots+(n-1)=(n+1)+(n+2)+\cdots +(n+r)

De esta igualdad se deduce que

\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}=\frac{r(2n+r+1)}{2}\Longrightarrow \frac{n^2}{2}=\frac{n+2rn+r(r+1)}{2}

y finalmente

\displaystyle{}n^2=\frac{n^2+n+2rn+r(r+1)}{2}=\frac{(n+r)(n+r+1)}{2}

Por lo tanto, y éste es su interés primario, un número n es balanceado cuando es la raíz cuadrada exacta de un número triangular.

Pero a parte de esto, los números balanceados tienen algunas propiedades muy elegantes y relativamente fáciles de demostrar, que los convierten en buenos candidatos para ser protagonistas de problemas sobre combinatoria o inducción.

Por ejemplo, es fácil demostrar  [1] que si denotamos por B_n el n-ésimo número balanceado (siendo los dos primeros B_1=6 y B_2=35, aunque la recurrencia también funciona si aceptamos el 1 como balanceado, y partimos de B_0=1) entonces la sucesión (B_n)_n satisface la ecuación en diferencias

B_{n+2}=6B_{n+1}-B_{n}

de donde se obtiene que

\displaystyle{}B_{n}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\left((3+2\sqrt{2})^n-(3-2\sqrt{2})^n\right)

Otras propiedades que se pueden demostrar con facilidad y que son bonitas de proponer como problemas [1,2]:

  • B_{2n}=B_n^2-B_{n-1}^2
  • Si m>n, (B_m+B_n)(B_m-B_n)=B_{m+n}\cdot B_{m-n}
  • B_{\mathrm{mcd}(n,m)}=\mathrm{mcd}(B_n,B_m)

Ah, y antes de que os animéis con un “¿Y si…?”. Ya se han propuesto todo tipo de generalizaciones de los números balanceados, involucrando potencias, progresiones aritméticas, progresiones geométricas,… Buscad en el Google Académico y veréis si vuestra idea ya la ha explotado/publicado alguien.

Esta entrada participa en la edición 5.1, Rey Pastor, del Carnaval de Matemáticas, alojada en el blog Tito Eliatron Dixit.

Referencias

  1. A. Behera, G. K. Panda, “On the square roots of triangular numbers.” The Fibonacci Quarterly 37 (1999), 98-105
  2. G. K. Panda, “Some fascinating properties of balancing numbers”. Fibonacci Numbers and their Applications 10 (2006), edición electrónica
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