El truco de las 5 permutaciones

El miércoles que viene en el Club Diario de Mallorca organizamos con algunos amigos una sesión coral de magia matemática, para inaugurar la celebración del año del centenario de Martin Gardner. Para calentar motores, os voy a explicar uno de mis trucos favoritos, que no haré allí porque es demasiado matemático y hemos anunciado que el sarao será “para todos los públicos”. La verdad es que no sé de dónde lo he sacado, aunque estoy seguro de que no lo he inventado yo, lo recordaría. Mirando ficheros en mi Mac, veo que lo propuse por primera vez en el 2005 en una asignatura de “Laboratorio de Matemáticas” de primer curso de Matemáticas para que los alumnos descubrieran cómo se hacía y lo demostraran, pero no anoté su origen.

El truco es como sigue: le pido a un voluntario que piense un número de 3 cifras, abc. A continuación que sume (con la calculadora del móvil) los otros cinco números que se obtienen permutando estas cifras, acb+bca+bac+cab+cba. Finalmente, le pido que me diga el resultado de esta suma, y yo me concentro y adivino el número que ha pensado al principio.

Cómo funciona? Pensadlo un rato. Os dejo el truco en un comentario, para que no lo leáis automáticamente. De hecho, es un caso particular del resultado siguiente.

“Sean n un número natural y \mathbb{N}_n el conjunto de los números naturales de n cifras. Para cada m\in\mathbb{N}_n, sea S_m la suma de los n!-1 números que se obtienen permutando sus cifras. La aplicación de \mathbb{N}_n en \mathbb{N} que envía m a S_m es inyectiva.”

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2 thoughts on “El truco de las 5 permutaciones

  1. Cesc January 10, 2014 / 6:05 pm

    Digamos
    N=acb+bca+bac+cab+cba
    a la suma que nos dice el voluntario, y abc al número que hay que adivinar. Tenemos que
    N=(a+2b+2c)100+(2a+b+2c)10+(2a+2b+c)
    y por lo tanto N es congruente con 5(a+b+c) módulo 9. Así pués, a+b+c es congruente con 2N módulo 9. Llamemos x a su residuo módulo 9 (tomando x=9 si el residuo es 0). Ya sabemos que a+b+c valdrá x, o x+9, o x+18.

    Por otro lado
    N+abc=222(a+b+c)
    Y ya tenemos la clave: calculamos de cabeza 222x, 222(x+9)=222x+2000-2,
    222(x+18)=222x+4000-4, y de éstos tomamos el primero estrictamente mayor que N. Le restamos N y obtenemos el número abc.

    Por ejemplo, si el espectador piensa el 523, nos dirá
    532+235+253+325+352=1697
    Como 1697= 5 módulo 9, y 2*5=1$ módulo 9, tenemos que $x=1$. Ahora, de
    222, 222+2000-2=2220, 222+4000-4=4218
    nos quedamos con 2220, que es el primero mayor que 1697. Y tenemos que:
    abc=2220-1697=523.

  2. Cesc January 10, 2014 / 6:15 pm

    Vaya, no deja editar los comentarios propios….

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