Un truco de magia olímpico

—Para mi próximo truco, necesito a tres voluntarios del público ¿Quién quiere salir? Tú, tú y tú, ¿queréis subir, por favor? Muchas gracias. Bienvenidas, ¿cómo os llamáis?

—Aina

—Bel

—Cati

—Encantado, Aina, Bel, Cati. Para empezar el truco necesito que tú,  Cati,  escojas un número par ni demasiado grande ni demasiado pequeño. Un número que esté bien.

—Mmmm… 18?

—Perfecto. Ahora escribe en la pizarra los números 1, 2, 3 y así sucesivamente hasta llegar al 18. Yo mientras escribiré un número en un papel y te lo daré cuando acabes. ¿Ya estás? Muy bien. Ten, guárdame este papel y no lo muestres hasta el final. ¡Y no lo mires, chismosa!

”Ahora, Aina, tú coge el rotulador azul y tú, Bel, el rojo Tenéis que marcar, por turnos, números de la lista que ha escrito Cati, los que queráis, desordenados, hasta que todos estén marcados. ¿Empiezas tú, Aina? Muy bien, ahora tú Bel. Perfecto, tú Aina otra vez. Bien, continuad.

”¿Ya estáis? ¿No queda ninguno sin marcar? Muy bien. Ahora Bel, por favor, escribe debajo de los números de Aina tus números, pero en el orden inverso. Es decir, debajo del primero de Aina escribe tu último número, debajo de su segundo número, tu penúltimo número. Y así sucesivamente.

”¿Ya está? Perfecto. Ahora, en cada una de estas parejas de números que has formado, escritos uno debajo del otro, resta el menor del mayor, de manera que el resultado sea siempre positivo. Vosotras, Aina y Cati, id vigilando que no se equivoque, ¿vale?

”¿Ya has terminado? Qué, ¿estás cansada de calcular? Pues Aina, ahora te toca a tí. Por favor, suma los resultados de estas nueve restas. Y vosotras, Bel y Cati, vigilad que no se equivoque.

”¿Ya está? ¿No se ha equivocado? ¿Te da 81? ¿Estáis seguras las tres? Bien, Cati, por favor, ¿muestras el número que he escrito en el papel que te he dado al comienzo? ¿Qué pone? ¡81! ¡Coinciden!

numeros

Os explico el truco. ¿Os habéis fijado que 81 es 9 al cuadrado, y que el número que ha elegido Cati al principio ha sido 9 por 2? No es casualidad. Si repetís este procedimiento con la lista de los números dels 1 al 2n, para cualquier número natural n, el resultado final siempre será el mismo, independientemente de los números que elijáis cada una: n al cuadrado. ¿Lo sabríais demostrar? Este problema fue propuesto en la fase final de la Olimpiada Matemática de la URSS de 1985.

¡Aviso de spoiler! Una indicación: Demostrad primero que en cada pareja de números que habéis restado, el menor siempre pertenece a 1,2,…,n y el mayor a n+1,n+2,…,2n. (Suponed que no y llegad a una contradicción,). A partir de aquí, terminar la demostración ya es coser y cantar.

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